命題について【形式論理学】

形式論理学についての解説の記事です．

初めに論理学の対象となる「命題」について解説します．

命題

命題とは，真偽が確定する主張を含む文です．

例えば，「田中さんは数学が好きである」，という文です．

この場合，実際に田中さんが数学が好きならばこの命題は真であり，田中さんが数学が嫌いならばこの命題は偽となります．

以下のような，疑問文・命令文・感嘆文は命題とは言えません．

「今日は満月だろうか？」，「職場をきれいにしろ」，「この花はなんて美しいのだろう！」

「今日は満月である」は命題と言えますが，「職場はきれいである」や「この花は美しい」は，「きれい」や「美しい」の基準が主観的なので，命題とは言えません．

つまり，真偽が定まるために，その基準が客観的でなければなりません．

命題として想起しやすいのは，数学に関する命題です．

「$2$は偶数である」，「$3$は素数である」，「$6$は完全数である」は全て真です．

「$\sqrt{2}$は有理数である」，「$2+3i$は純虚数である」は全て偽です．

命題を文字で表す場合，一般的には$A, B$など大文字のアルファベットで表します．

述語

「$x$は実数である」などのように，主語についての条件のみを記した文を述語といいます．

この文の$x$のように，そこにいろいろなものが代入されうる部分を変項といいます．

変項が数を表す場合は変数といいます．

他方で，「$x$は$a$以上の実数である」の中の$a$のように，いろいろなものが代入されうるのではなく，一定のものであると想定されているものを定項といいます．

定項が数を表す場合は定数といいます．

述語を文字で表す場合，変項$x$と合わせて$A(x)$とかきます．

$A(x)$は命題関数とも呼ばれます．

問題

問題1

次の命題の真偽を答えよ．

(1)　$141$は素数である．

(2)　$259$は$7$の倍数である．

問題2

次の命題関数が真となるような変数の範囲を答えよ．

(1)　$x$は実数で，$5x-7>3$

(2)　$y$は実数で，$y^2-3y<-2$

解答例

問題1

(1)　$141=3 \times 47$であるので，$141$は素数ではない．したがって与えられた命題は偽である．

(2)　$259=7 \times 37$であるので，$259$は$7$の倍数である．したがって与えられた命題は真である．

問題2

(1)　$5x-7>3$，$5x>10$，$x>2$

(2)　$y^2-3y<-2$，$y^2-3y+2<0$，$(y-2)(y-1)<0$，$1<y<2$

参考文献

参考文献を紹介します．

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野矢茂樹著，『論理学』

長岡亮介著，『論理学で学ぶ数学』