命題の真偽と真理値【形式論理学1】

logic 形式論理学

数学の学び直しのための記事です．ここでは数学を学ぶために役立つ形式論理学について解説します．

命題について

数学に限らず，物事を記述したり，考察したり，推論したりするために，命題は必要不可欠です．

「太郎は次郎の兄である」という文も，命題といえます．

命題の特徴は，主語と述語を含むということです．

数学の命題では，「\(2\)は偶数である」というように，主語が数(集合の元)である場合もありますし，「循環小数は有理数である」というように，主語が集合である場合もあります．

形式論理学でまず考察するのは，真偽がはっきりしているものです．

上述の「太郎は次郎の兄である」という文も，真偽がはっきりしています．

「\(2\)は偶数である」という文も，真偽がはっきりしていて，真です．

命題の真理値

命題が真である場合，その命題の真理値を\(1\)とし，命題が偽である場合，その真理値を\(0\)とします．

命題\(A\)の真理値を\(〚A〛\)と表します．

問題

問題1

以下の命題について，その真偽を答えよ．

(1)　\(9\)は\(4\)で割り切れる．

(2)　\(11\)は奇数である．

(3)　奇数と偶数を足してできる数は奇数である．

(4)　\(23\)は素数である．

解答例

(1)　\(9=2\times4+1\)であるから，\(9\)は\(4\)で割り切れない．よって命題は偽である．

(2)　\(11=5\times2+1\)は奇数であるから，命題は真である．

(3)　奇数を\(n=2k+1\)，偶数を\(m=2k’\)，ただし\(k\)，\(k’\)は整数，とする．

奇数と偶数の和は，\(n+m=2k+1+2k’=2(k+k’)+1\)となり，奇数である．

したがって，命題は真である．

(4)　\(23\)は素数であるから，命題は真である．

問題2

以下の命題について，真理値を求めよ．

(1)　\(A\)：\(221\)は\(17\)で割り切れる．

(2)　\(B\)：\(68\)は奇数である．

(3)　\(C\)：奇数と偶数をかけてできる数は奇数である．

(4)　\(D\)：\(91\)は素数である．

解答例

(1)　\(221=13\times17\)であるから，命題は真である．\(〚A〛=1\)

(2)　\(68\)は偶数であるから，命題は偽である．\(〚B〛=0\)

(3)　奇数を\(n=2k+1\)，偶数を\(m=2k’\)，ただし\(k\)，\(k’\)は整数，とする．

奇数と偶数の積は，\(nm=(2k+1)(2k’)=4kk’+2k’=2(2kk’+1)\)であるから，偶数である．

命題は偽である．\(〚C〛=0\)

(4)　\(91=13\times7\)であるから，\(91\)は素数ではない．命題は偽である．\(〚D〛=0\)

参考文献

形式論理学に関する参考文献を以下に挙げます．

野矢茂樹著，『論理学』

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長岡亮介著，『論理学で学ぶ数学』


赤攝也著，『現代数学概論』


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