論理学を学ぶ記事です．
本記事では，論理演算について説明します．
論理和
\(A \lor B\)の真理表を以下に記します．
| \(A\) | \(B\) | \(A \lor B\) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
これは，1と1を演算して1，1と0を演算して1，0と0を演算して0，という計算を行っているともいえます．
このように論理式を演算にしたものを論理演算といいます．
選言を演算にしたものを論理和といい，\(+\)で表します．
\(1+1=1,1+0=1,0+0=0\)となります．
これを電子工学では真理値表として以下のように書きます．
| \(A\) | \(B\) | \(A+B\) |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
論理学の真理表と逆順に書いていきますので，注意が必要です．
論理積
\(A \land B\)の真理表を以下に記します．
| \(A\) | \(B\) | \(A \land B\) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
これを論理演算としたとき，論理積といい，\(\cdot\)と書きます．
| \(A\) | \(B\) | \(A \cdot B\) |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
反転
\(\lnot A\)の真理表を以下に記します．
| \(A\) | \(\lnot A\) |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
これを論理演算としたとき，反転といい，\(\overline{A}\)と書きます．
| \(A\) | \(\overline{A}\) |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
排他的論理和
排他的選言とは，命題\(A\)か\(B\)のどちらかということです．
これを\(A \;\unicode{x22BB}\; B\)と書きます．
| \(A\) | \(B\) | \(A \;\unicode{x22BB}\; B\) |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
排他的選言を論理演算にすると，排他的論理和になります．
エクスクルーシブ・OR，XORなどともいいます．
記号では\(\oplus\)とかきます．
| \(A\) | \(B\) | \(A \oplus B\) |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
否定論理積
否定論理積とは，命題\(A \land B\)の否定ということです．
これを\(\lnot (A \land B)\)と書きます．
| \(A\) | \(B\) | \(\lnot (A \land B)\) |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
これはシェファーの棒記号でも表せます．
\(\lnot (A \land B) \Leftrightarrow A \mid B\)
否定論理積は論理演算ではNANDといいます．
記号では\(\overline{A \cdot B}\)とかきます．
| \(A\) | \(B\) | \(\overline{A \cdot B}\) |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
否定論理和
否定論理和とは，命題\(A \lor B\)の否定ということです．
これを\(\lnot (A \lor B)\)と書きます．
| \(A\) | \(B\) | \(\lnot (A \lor B)\) |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
否定論理和は論理演算ではNORといいます．
記号では\(\overline{A + B}\)とかきます．
| \(A\) | \(B\) | \(\overline{A + B}\) |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
参考文献
形式論理学に関する参考文献を以下に挙げます．
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野矢茂樹著，『論理学』
長岡亮介著，『論理学で学ぶ数学』
赤攝也著，『現代数学概論』
