数学の学び直しの記事です．
本記事では，集合の定義について説明します．
集合の定義
数学では，対象となる事柄の「集まり」を考えます．
例えば，正の整数，\(1, 2, 3, \dots\)の全てからなる集合を\(\mathbb{Z}^+\)と書き，正の整数全体の集合といいます．
このように，集合はその構成要素をもち，元，あるいは要素といいます．
集合\(S\)が元\(a\)をもつとき，\(a \in S\)とかき，\(S\)は\(a\)を元にもつ，\(a\)は\(S\)に属する，といいます．
集合\(S\)が\(b\)を元としてもたないとき，\(b \notin S\)とかき，\(S\)は\(b\)を元にもたない，\(b\)は\(S\)に属さない，といいます．
数学において特に重要な集合として，自然数全体の集合\(\mathbb{N}\)，整数全体の集合\(\mathbb{Z}\)，有理数全体の集合\(\mathbb{Q}\)，実数全体の集合\(\mathbb{R}\)，複素数全体の集合\(\mathbb{C}\)があります．
集合の記法
集合を表記する方法には，\(\{1, 3, 5, \dots\}\)のように元を列挙していく方法(外延的記法)と，\(\{m|m=2n-1,n\in \mathbb{Z}^+\}\)のように命題を用いて表す方法(内包的記法)があります．
外延的記法で表記する場合には，\(\dots\)で省略される数が容易に推測できる必要があります．
内包的記法は，一般的には\(\{x|P(x)\}\)と表され，命題\(P(x)\)を満たすような\(x\)からなる集合を意味します．
集合の包含関係
集合\(A\)の元が全て集合\(B\)の元でもある場合，\(A \subset B\)とかき，\(A\)は\(B\)に含まれるといいます．
\(A\)は\(B\)の部分集合である，ともいいます．
論理記号を用いて簡単に以下のようにかけます．
\(\forall x \in A, x \in B \Leftrightarrow A \subset B\)
\(\forall \)は「全ての」という意味の記号で全称記号といいます．
\(\Leftrightarrow \)は命題が同値であることを意味する記号です．
\(A \subset B\)であり，かつ\(B \subset A\)である場合，\(A\)と\(B\)は等しく，\(A = B\)とかきます．
論理記号を用いて簡単に次のように書けます．
\(A \subset B \land B \subset A \Leftrightarrow A = B\)
\(\land\)は「かつ」という意味の記号で，連言の記号です．
集合\(A\)と\(B\)が等しいことを証明するためには，\(A \subset B\)と\(B \subset A\)が両方とも成立することを示せばよいことになります．
\(A \subset B\)ですが\(A \neq B\)である場合は，\(A\)は\(B\)の真部分集合であるといいます．
自然数全体の集合\(\mathbb{N}\)，整数全体の集合\(\mathbb{Z}\)，有理数全体の集合\(\mathbb{Q}\)，実数全体の集合\(\mathbb{R}\)，複素数全体の集合\(\mathbb{C}\)の包含関係は，以下のように表されます．
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)
空集合と全体集合
集合においては，いかなる元ももっていない集合である空集合(\(\phi\))と，想定されうる全ての元を含む集合である全体集合(\(U\))を考えます．
全体集合は任意の集合を含みます．
任意の集合\(A\)に対して，\(A \subset U\)．
空集合は任意の集合に含まれます．
任意の集合\(A\)に対して，\(\phi \subset A\)
包含関係に関して，ある集合\(A\)はそれ自身を含みます，すなわち，\(A \subset A\)．
推移律が成立します，すなわち，三つの集合\(A, B, C\)について，\(A \subset B, B \subset C\)ならば，\(A \subset C\)となります．
論理記号では，\(A \subset B \land B \subset C \Rightarrow A \subset C\)とかけます．
問題
問題1 集合\(A=\{p, q, r\}\)と集合\(B=\{p, r, q, p\}\)は等しいか？
問題2 以下の集合を外延的記法で表せ．ただし，\(\mathbb{Z^+}\)は正の整数全体の集合を表す．
⑴ \(\{n|n \in \mathbb{Z^+}, 4 \lt n \lt 9\}\)
⑵ \(\{n|n=2m, m \in \mathbb{Z^+}\}\)
解答例
問題1 集合\(A\)の全ての元\(x\)に対して\(x \in B\)が成り立つ．よって\(A \subset B\)である．
集合\(B\)の全ての元\(x\)に対して\(x \in A\)が成り立つ．よって\(B \subset A\)である．
\(A \subset B \land B \subset A \Leftrightarrow A =B\)である．集合\(A\)と\(B\)は等しい．
問題2 ⑴ \(\{5, 6, 7, 8\}\) ⑵ \(\{2, 4, 6, 8, \dots\}\)
参考文献
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