高校数学の復習の記事です。
自然数の定義と相等、大小関係について説明します。
自然数の定義
自然数(natural number)は、その名の通り「ものを数える」という最も素朴な行為に由来する数の体系です。目の前にリンゴが\(3\)個あるとき、私たちは「\(1\)個、\(2\)個、\(3\)個」と数え上げることで個数を把握します。この「数え上げ」という操作こそが自然数の直観的な出発点です。自然数全体の集合を通常\(\mathbb{N}\)と表します。
\(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}\)
歴史的にも、自然数はもっとも古くから人類が扱ってきた数の概念であり、家畜の頭数や収穫物の量を記録する必要性から発展してきたと考えられています。
\(0\)の扱いについて
高校数学では、\(0\)を自然数に含めないという立場をとります。これは「数える」という操作が本来「少なくとも一つの対象が存在する」ことを前提としているためであり、\(0\)は「何も存在していない」状態を表す数ですから、素朴な数え上げの対象にはなじまない、という考え方に基づきます。
\(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}\)
一方で、より高度な数学(集合論や公理的な数論)では、\(0\)を自然数に含める立場が一般的です。ここではその詳細には立ち入りませんが、いろいろな立場があることについて指摘をしておきます。そして、本稿では\(0\)を自然数に含めない立場をとります。
数直線による表現
自然数は、数直線(number line)上に等間隔に並ぶ点として視覚化することができます。数直線とは、\(1\)本の直線上に基準点(原点)を定め、そこから一定の間隔で数を対応させたものです。自然数の場合、原点から右方向に(1, 2, 3, \dots\)と等間隔に点を配置していきます。
数直線上での自然数の配置には、次の二つの重要な性質が視覚的に表されています。各自然数の間には等しい間隔(単位の長さ)が保たれています。そして、数直線上で右にある数ほど大きく、左にある数ほど小さくなります。この数直線による表現は、後述する自然数の大小関係を直観的に理解するために重要です。
自然数の相等
二つの自然数\(a, b\)が等しい(相等である)とは、それらが数え上げの結果として同一の回数を表すことを意味します。これを記号\(a=b\)で表します。自然数の相等関係は次の三つの性質を満たします。
反射律：自然数\(a\)について、\(a=a\)
対称律：自然数\(a, b\)について、\(a=b\)ならば\(b=a\)
推移律：自然数\(a, b, c\)について、\(a=b\)かつ\(b=c\)ならば\(a=c\)
これらの性質を満たす関係を一般に同値関係(equivalence relation)といいます。自然数の相等が同値関係であることは当然であるように思えるでしょうが、この性質を明示しておくことは大事なことです。
自然数の大小関係
二つの異なる自然数\(a, b\)の間には、必ず一方が他方より大きい、あるいは小さいという関係が成り立ちます。これを大小関係(order relation)といい、記号\(\lt\)(または\(\gt\))で表します。
任意の自然数\(a, b\)に対して、\(a\)が\(b\)より小さいこと(\(a \lt b\))を数直線上で\(a\)が\(b\)より左に位置することであると考えることができます。
大小関係\(\leq\)(等しいか、より小さい、以下)は、次の性質を満たします。
推移律：\(a \leq b\)かつ\(b \leq c\)ならば\(a \leq c\)
反対称律：\(a \leq b\)かつ\(b \geq a\)ならば\(a = b\)
全順序性：\(a \leq b\)または\(b \leq a\)の少なくとも一方が成り立つ
この最後の性質、任意の二つの異なる自然数は必ず大小を比較できるという性質は、自然数が全順序集合(totally ordered set)をなすことを意味しています。
参考文献
数学を復習する際に役に立った本を紹介します．
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芳沢光雄著 『高校数学の教科書』
