線型代数学の問題の解説をします．
ベクトルが直交するかどうかを内積を利用して調べる問題です．
問題
以下の三つのベクトル\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)に対して，直交するベクトルの組があれば求めよ．
\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in\mathbb{R}^3,\boldsymbol{u}=(5,4,1),\boldsymbol{v}=(3,-4,1),\boldsymbol{w}=(1,-2,3)\)
解答例
\(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=(5,4,1)\cdot(3,-4,1)\)
\(=5\cdot3-4\cdot4+1\cdot1\)
\(=15-16+1\)
\(=0\)
\(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}=(3,-4,1)\cdot(1,-2,3)\)
\(=3\cdot1+4\cdot2+1\cdot3\)
\(=3+8+3\)
\(=14(\neq0)\)
\(\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{u}=(1,-2,3)\cdot(5,4,1)\)
\(=1\cdot5-2\cdot4+3\cdot1\)
\(=5-8+3\)
\(=0\)
以上より，\(\boldsymbol{u}\)と\(\boldsymbol{v}\)，\(\boldsymbol{w}\)と\(\boldsymbol{u}\)は直交する．
ベクトルの直交と内積
二つの\(\boldsymbol{0}\)でないベクトル，\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^n\)に対して，内積\(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}\)が\(0\)ならば，二つのベクトルは直交します．
単に内積が\(0\)である場合は，二つのベクトルの内のどちらか，あるいは両方が\(\boldsymbol{0}\)(\(0\)ベクトル)である可能性があり，その場合は直交しているとは言えません．
二つのベクトルが直交しているならば，二つのベクトルの内積は\(0\)です．
参考文献
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松坂和夫著，線型代数入門
齋藤正彦著，線型代数入門
竹内淳著，高校数学でわかる線形代数
