ベクトルの内積の問題【線型代数問題1‐4】

線型代数学

線型代数学の問題の解説をします.

ベクトルが直交するかどうかを内積を利用して調べる問題です.

問題

以下の三つのベクトル\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)に対して,直交するベクトルの組があれば求めよ.

\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in\mathbb{R}^3,\boldsymbol{u}=(5,4,1),\boldsymbol{v}=(3,-4,1),\boldsymbol{w}=(1,-2,3)\)

解答例

\(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=(5,4,1)\cdot(3,-4,1)\)

\(=5\cdot3-4\cdot4+1\cdot1\)

\(=15-16+1\)

\(=0\)

\(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}=(3,-4,1)\cdot(1,-2,3)\)

\(=3\cdot1+4\cdot2+1\cdot3\)

\(=3+8+3\)

\(=14(\neq0)\)

\(\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{u}=(1,-2,3)\cdot(5,4,1)\)

\(=1\cdot5-2\cdot4+3\cdot1\)

\(=5-8+3\)

\(=0\)

以上より,\(\boldsymbol{u}\)と\(\boldsymbol{v}\),\(\boldsymbol{w}\)と\(\boldsymbol{u}\)は直交する.

ベクトルの直交と内積

二つの\(\boldsymbol{0}\)でないベクトル,\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^n\)に対して,内積\(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}\)が\(0\)ならば,二つのベクトルは直交します.

単に内積が\(0\)である場合は,二つのベクトルの内のどちらか,あるいは両方が\(\boldsymbol{0}\)(\(0\)ベクトル)である可能性があり,その場合は直交しているとは言えません.

二つのベクトルが直交しているならば,二つのベクトルの内積は\(0\)です.

参考文献

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松坂和夫著,線型代数入門

齋藤正彦著,線型代数入門

竹内淳著,高校数学でわかる線形代数

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