ベクトルの内積の問題【線型代数問題1‐3】

線型代数学

線型代数学の問題の解説をします.

二つのベクトルの内積を求める問題です.

問題

以下の二つのベクトル\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\)に対して,\(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}\)を計算せよ.

(1) \(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3,\boldsymbol{u}=(2,-5,6),\boldsymbol{v}=(8,2,-3)\)

(2) \(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^5,\boldsymbol{u}=(4,2,-3,5,-1),\boldsymbol{v}=(2,6,-1,-4,8)\)

解答例

(1) \(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=(2,-5,6)\cdot(8,2,-3)\)

\(=2\cdot8-5\cdot2+6\cdot(-3)\)

\(=16-10-18\)

\(=-12\)

(2) \(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=(4,2,-3,5,-1)\cdot(2,6,-1,-4,8)\)

\(=4\cdot2+2\cdot6-3\cdot(-1)+5\cdot(-4)-1\cdot8\)

\(=8+12+3-20-8\)

\(=-5\)

ベクトルの内積について

二つのベクトル,\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^n\)に対して,内積\(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}\)は下記の式で定義されます.

\(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=u_1v_1+u_2v_2+\dots+u_nv_n\)

\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_kv_k\)

参考文献

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松坂和夫著,線型代数入門

齋藤正彦著,線型代数入門

竹内淳著,高校数学でわかる線形代数

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