線型代数学の問題の解説をします．
まずはベクトルの演算の問題から始めます．
問題
三つのベクトルを，\(\boldsymbol{u} = (2, -7, 1), \boldsymbol{v} = (-3, 0, 4), \boldsymbol{w} = (0, 5, -8)\)とする．以下の二つの式を計算せよ．
(1) \(3 \boldsymbol{u} – 4 \boldsymbol{v}\)
(2) \(2 \boldsymbol{u} + 3 \boldsymbol{v} – 5 \boldsymbol{w}\)
解答例
ベクトルの定数倍は，全ての成分を定数倍します．足し算引き算は，成分ごとに行います．
(1) \(3 \boldsymbol{u} – 4 \boldsymbol{v}\)
\(= 3 \times (2, -7, 1) – 4 \times ( -3, 0, 4)\)
\(= (6, -21, 3) + (12, 0, -16)\)
\(= (6 + 12, -21 + 0, 3 – 16)\)
\(= (18, -21, -13)\)
(2) \(2 \boldsymbol{u} + 3 \boldsymbol{v} – 5 \boldsymbol{w}\)
\(= 2 \times (2, -7, 1) + 3 \times ( -3, 0, 4) – 5 \times (0, 5, -8)\)
\(= (4, -14, 2) + (-9, 0, 12) + (0, -25, 40)\)
\(= (4 -9 + 0, -14 + 0 -25, 2 +12 + 40)\)
\(= (-5, -39, 54)\)
横書きですと，行ベクトルによる表現よりも，列ベクトルによる表現の方が見やすいですね．
(1) \(3 \boldsymbol{u} – 4 \boldsymbol{v}\)
\(= 3 \times \pmatrix{2 \\ -7 \\ 1} -4 \times \pmatrix{-3 \\ 0 \\ 4}\)
\(= \pmatrix{6 \\ -21 \\ 3} + \pmatrix{12 \\ 0 \\ -16}\)
\(= \pmatrix{18 \\ -21 \\ -13} \)
(2) \(2 \boldsymbol{u} + 3 \boldsymbol{v} – 5 \boldsymbol{w}\)
\(= 2 \times \pmatrix{2 \\ -7 \\ 1} + 3 \times \pmatrix{-3 \\ 0 \\ 4} -5 \times \pmatrix{0 \\ 5 \\ -8}\)
\(= \pmatrix{4 \\ -14 \\ 2} + \pmatrix{-9 \\ 0 \\ 12} + \pmatrix{0 \\ -25 \\ 40}\)
\(= \pmatrix{-5 \\ -39 \\ 54}\)
ただし，問題文でベクトルが行ベクトルとして与えられていましたので，行ベクトルのままで計算したほうがよいでしょう．
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