数学の学び直しのための記事です.ここでは数学を学ぶために役立つ形式論理学について解説します.
命題について
数学に限らず,物事を記述したり,考察したり,推論したりするために,命題は必要不可欠です.
「太郎は次郎の兄である」という文も,命題といえます.
命題の特徴は,主語と述語を含むということです.
数学の命題では,「2は偶数である」というように,主語が数(集合の元)である場合もありますし,「循環小数は有理数である」というように,主語が集合である場合もあります.
形式論理学でまず考察するのは,真偽がはっきりしているものです.
上述の「太郎は次郎の兄である」という文も,真偽がはっきりしています.
「2は偶数である」という文も,真偽がはっきりしていて,真です.
命題の真理値
命題が真である場合,その命題の真理値を1とし,命題が偽である場合,その真理値を0とします.
命題Aの真理値を〚A〛と表します.
問題
問題1
以下の命題について,その真偽を答えよ.
(1) 9は4で割り切れる.
(2) 11は奇数である.
(3) 奇数と偶数を足してできる数は奇数である.
(4) 23は素数である.
解答例
(1) 9=2\times4+1であるから,9は4で割り切れない.よって命題は偽である.
(2) 11=5\times2+1は奇数であるから,命題は真である.
(3) 奇数をn=2k+1,偶数をm=2k’,ただしk,k’は整数,とする.
奇数と偶数の和は,n+m=2k+1+2k’=2(k+k’)+1となり,奇数である.
したがって,命題は真である.
(4) 23は素数であるから,命題は真である.
問題2
以下の命題について,真理値を求めよ.
(1) A:221は17で割り切れる.
(2) B:68は奇数である.
(3) C:奇数と偶数をかけてできる数は奇数である.
(4) D:91は素数である.
解答例
(1) 221=13\times17であるから,命題は真である.〚A〛=1
(2) 68は偶数であるから,命題は偽である.〚B〛=0
(3) 奇数をn=2k+1,偶数をm=2k’,ただしk,k’は整数,とする.
奇数と偶数の積は,nm=(2k+1)(2k’)=4kk’+2k’=2(2kk’+1)であるから,偶数である.
命題は偽である.〚C〛=0
(4) 91=13\times7であるから,91は素数ではない.命題は偽である.〚D〛=0
参考文献
形式論理学に関する参考文献を以下に挙げます.
野矢茂樹著,『論理学』
長岡亮介著,『論理学で学ぶ数学』
赤攝也著,『現代数学概論』