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命題の真偽と真理値【形式論理学1】

logic 形式論理学

数学の学び直しのための記事です.ここでは数学を学ぶために役立つ形式論理学について解説します.

命題について

数学に限らず,物事を記述したり,考察したり,推論したりするために,命題は必要不可欠です.

「太郎は次郎の兄である」という文も,命題といえます.

命題の特徴は,主語述語を含むということです.

数学の命題では,「2は偶数である」というように,主語が数(集合の元)である場合もありますし,「循環小数は有理数である」というように,主語が集合である場合もあります.

形式論理学でまず考察するのは,真偽がはっきりしているものです.

上述の「太郎は次郎の兄である」という文も,真偽がはっきりしています.

2は偶数である」という文も,真偽がはっきりしていて,真です.

命題の真理値

命題が真である場合,その命題の真理値1とし,命題が偽である場合,その真理値を0とします.

命題Aの真理値を〚A〛と表します.

問題

問題1

以下の命題について,その真偽を答えよ.

(1) 94で割り切れる.

(2) 11は奇数である.

(3) 奇数と偶数を足してできる数は奇数である.

(4) 23は素数である.

解答例

(1) 9=2\times4+1であるから,94で割り切れない.よって命題は偽である.

(2) 11=5\times2+1は奇数であるから,命題は真である.

(3) 奇数をn=2k+1,偶数をm=2k’,ただしkk’は整数,とする.

奇数と偶数の和は,n+m=2k+1+2k’=2(k+k’)+1となり,奇数である.

したがって,命題は真である.

(4) 23は素数であるから,命題は真である.

問題2

以下の命題について,真理値を求めよ.

(1) A22117で割り切れる.

(2) B68は奇数である.

(3) C:奇数と偶数をかけてできる数は奇数である.

(4) D91は素数である.

解答例

(1) 221=13\times17であるから,命題は真である.〚A〛=1

(2) 68は偶数であるから,命題は偽である.〚B〛=0

(3) 奇数をn=2k+1,偶数をm=2k’,ただしkk’は整数,とする.

奇数と偶数の積は,nm=(2k+1)(2k’)=4kk’+2k’=2(2kk’+1)であるから,偶数である.

命題は偽である.〚C〛=0

(4) 91=13\times7であるから,91は素数ではない.命題は偽である.〚D〛=0

参考文献

形式論理学に関する参考文献を以下に挙げます.

野矢茂樹著,『論理学』

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長岡亮介著,『論理学で学ぶ数学』


赤攝也著,『現代数学概論』


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