ベクトルの演算の問題【線型代数問題1-1】

線型代数学

線型代数学の問題の解説をします.

まずはベクトルの演算の問題から始めます.

問題

三つのベクトルを,\(\boldsymbol{u} = (2, -7, 1), \boldsymbol{v} = (-3, 0, 4), \boldsymbol{w} = (0, 5, -8)\)とする.以下の二つの式を計算せよ.

(1) \(3 \boldsymbol{u} – 4 \boldsymbol{v}\)

(2) \(2 \boldsymbol{u} + 3 \boldsymbol{v} – 5 \boldsymbol{w}\)

解答例

ベクトルの定数倍は,全ての成分を定数倍します.足し算引き算は,成分ごとに行います.

(1) \(3 \boldsymbol{u} – 4 \boldsymbol{v}\)

\(= 3 \times (2, -7, 1) – 4 \times ( -3, 0, 4)\)

\(= (6, -21, 3) + (12, 0, -16)\)

\(= (6 + 12, -21 + 0, 3 – 16)\)

\(= (18, -21, -13)\)

(2) \(2 \boldsymbol{u} + 3 \boldsymbol{v} – 5 \boldsymbol{w}\)

\(= 2 \times (2, -7, 1) + 3 \times ( -3, 0, 4) – 5 \times (0, 5, -8)\)

\(= (4, -14, 2) + (-9, 0, 12) + (0, -25, 40)\)

\(= (4 -9 + 0, -14 + 0 -25, 2 +12 + 40)\)

\(= (-5, -39, 54)\)

横書きですと,行ベクトルによる表現よりも,列ベクトルによる表現の方が見やすいですね.

(1) \(3 \boldsymbol{u} – 4 \boldsymbol{v}\)

\(= 3 \times \pmatrix{2 \\ -7 \\ 1} -4 \times \pmatrix{-3 \\ 0 \\ 4}\)

\(= \pmatrix{6 \\ -21 \\ 3} + \pmatrix{12 \\ 0 \\ -16}\)

\(= \pmatrix{18 \\ -21 \\ -13} \)

(2) \(2 \boldsymbol{u} + 3 \boldsymbol{v} – 5 \boldsymbol{w}\)

\(= 2 \times \pmatrix{2 \\ -7 \\ 1} + 3 \times \pmatrix{-3 \\ 0 \\ 4} -5 \times \pmatrix{0 \\ 5 \\ -8}\)

\(= \pmatrix{4 \\ -14 \\ 2} + \pmatrix{-9 \\ 0 \\ 12} + \pmatrix{0 \\ -25 \\ 40}\)

\(= \pmatrix{-5 \\ -39 \\ 54}\)

ただし,問題文でベクトルが行ベクトルとして与えられていましたので,行ベクトルのままで計算したほうがよいでしょう.

参考文献

アフィリエイト広告です.

松坂和夫著,線型代数入門

齋藤正彦著,線型代数入門

竹内淳著,高校数学でわかる線形代数

タイトルとURLをコピーしました