実数の四則演算が満たす法則について説明します．
実数の四則演算では，下記のような一見当たり前にみえる法則を満たします．
交換法則
実数の和と積に関して，順序を入れ替えることができます．
\(a, b \in \mathbb{R}, a + b = b + a, ab = ba\)
前者を和についての交換法則，後者を積についての交換法則といいます．
結合法則
3つの実数の和，あるいは3つの実数の積に関して，計算する順序を変更することができます．
\(a, b \in \mathbb{R}, (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)\)
前者を和についての結合法則，後者を積についての結合法則といいます．
分配法則
実数の和に実数をかけたものは，それぞれに実数をかけてから和をとったものと等しくなります．
\(a, b, c \in \mathbb{R}, a(b+c) = ab+ac, (a+b)c = ac+bc\)
和に関する零元と逆元
すべての実数に対して，足してそれ自身になるような数\(0\)があります．
\(\forall a \in \mathbb{R}, \exists 0 \in \mathbb{R}, a+0 = a\)
\(0\)を和に関する零元といいます．
すべての実数に対して，足して\(0\)になるような数があります．
\(\forall a \in \mathbb{R}, \exists -a \in \mathbb{R}, a + (-a) = 0\)
\(-a\)を和に関する\(a\)の逆元，特にマイナスといいます．
積 に関する単位元と逆元
すべての実数に対して，かけてそれ自身になるような数\(1\)があります．
\(\forall a \in \mathbb{R}, \exists 1 \in \mathbb{R}, 1 \cdot a = a\)
\(1\)を積に関する単位元といいます．
すべての\(0\)でない実数に対して，かけて\(1\)になるような数があります．
\(\forall a (\neq 0) \in \mathbb{R}, \exists \displaystyle\frac{1}{a} \in \mathbb{R}, \displaystyle\frac{1}{a} \cdot a = 1\)
\(\displaystyle\frac{1}{a} \)を積に関する\(a\)の逆元，特に逆数といいます．
体
和\((+)\)と積\((\cdot)\)が定義されていて，和と積の交換法則，和と積の結合法則，分配法則，和の零元と逆元の存在，積の単位元と逆元の存在を満たす集合のことを可換な体(可換体)といいます．
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)は可換体であり，実数体とよばれています．
累乗と指数法則
実数\(a\)に対し，\(n\)を正の整数として，\(a\)の\(n\)個の積を\(a^n\)とかき，\(a\)の累乗といいます．
\(0\)でない実数\(a\)に対し，\(a^0 = 1, a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}\)とします．
累乗については，下記の指数法則が成り立ちます．
\(a, b \in \mathbb{R}, m, n \in \mathbb{Z}, a^m \cdot a^n = a^{m+n}, (a^m)^n = a^{mn}, (ab)^n = a^nb^n\)
参考文献
解析学に関する参考文献を以下に挙げます．
松坂和夫著，『解析入門』
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杉浦光夫著，『解析入門I』
![[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]](https://hbb.afl.rakuten.co.jp/hgb/1f17aa7c.6cdd36f3.1f17aa7d.f2b38e7c/?me_id=1278256&item_id=19870288&pc=https%3A%2F%2Fthumbnail.image.rakuten.co.jp%2F%400_mall%2Frakutenkobo-ebooks%2Fcabinet%2F6373%2F2000009416373.jpg%3F_ex%3D240x240&s=240x240&t=picttext "[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]")
