自然数の四則演算【数と式・高校数学の復習1-3】

高校数学の復習の記事です。

自然数の四則演算について解説します。

加法（足し算）

定義

• 加法は、$2$つ以上の数を組み合わせて合計を求める操作です。
• 自然数同士の加法は、常に自然数になります。
• 例えば、$5 + 3$ とは、$5$にさらに3を加えるということです。
• 数直線上で表すと、まず$0$から$5$進み、そこからさらに$3$進むイメージです。

加法の法則

• 交換法則: 加法では順番を入れ替えても結果は同じです。
  例: $a + b = b + a$
  例えば、$4 + 7 = 7 + 4 = 11$
• 結合法則: 3つ以上の数を足す場合、どこから足しても結果は同じです。
  例: $(a + b) + c = a + (b + c)$
  例えば、$(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9$

二桁以上の数の計算は、交換法則や結合法則を利用していると考えることができます。

$32+24=30+2+20+4=2+4+30+20=6+30+20=6+50=56$

$\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c} & 3 & 2 \\ + & 2 & 4 \\ \hline & 5 & 6 \ \end{array}$

$45+57=40+5+50+7=5+7+40+50=12+40+50=12+90=102$

減法（引き算）

定義

• 減法は、ある数から別の数を引いて、差を求める操作です。
• 減法では、引く数が大きい場合、負の数が結果となることもありますが、自然数の範囲内では負の数は扱いません。
• 例えば、$10 – 4$ とは、$10$から$4$を引くということです。
  数直線上では、$10$の位置から$4$戻るイメージです。

注意

• 交換法則が成立しない: 減法では順番を変えると結果が異なります。
  例: $8 – 5 \neq 5 – 8$
  $8 – 5 = 3$、一方で$5 – 8 = -3$ になります。

乗法（掛け算）

定義

• 乗法は、ある数を指定された回数だけ足す操作です。
• 自然数同士の掛け算は、常に自然数になります。
• 例えば、$6 × 3$ とは、$6$を$3$回足すことと同じ意味です。
  $6 × 3 = \overbrace{6 + 6 + 6}^3 = 18$

乗法の法則

• 交換法則: 掛け算では、順序を入れ替えても結果は同じです。
  例: $a × b = b × a$
  例えば、$5 × 7 = 7 × 5 = 35$
• 結合法則: 複数の数を掛ける場合、どこから掛けても結果は同じです。
  例: $(a × b) × c = a × (b × c)$
  例えば、$(2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24$
• 分配法則: 掛け算と足し算が混ざる場合、次の法則が成り立ちます。
  例: $a × (b + c) = a × b + a × c$
  例えば、$2 × (3 + 5) = 2 × 3 + 2 × 5 = 6 + 10 = 16$

二桁の数の掛け算は、分配法則を利用していると考えることができます。

$34 \times 6 = (30 + 4) \times 6 = 30 \times 6 + 4 \times 6 = 180 + 24 = 204$

$\begin{array}{r} \phantom{0}34 \\ \times \phantom{0}6 \\ \hline \phantom{0}24 \\ 180 \\ \hline 204 \ \end{array}$

除法（割り算）

定義

• 除法は、ある数を指定された数で割って商を求める操作です。割り切れる場合と余りが出る場合があります。
• 例えば、$12 ÷ 4$ は、$12$を$4$で割ると$3$になることを意味します。
  $12 ÷ 4 = 3$

注意

• 交換法則が成立しない: 除法では、割る数と割られる数を入れ替えると結果が異なります。
  例: $20 ÷ 4 \neq 4 ÷ 20$

商と余りを求める除法（整数除法）

割り算をして商と余りを求める方法です。
割り切れない場合には、整数の商と余りを求めます。

$13 ÷ 5$ → 商: $2$, 余り: $3$ となります。
つまり、$5$で割ると$2$回割り切れて、$3$が余ります。式では
$13 = 5 × 2 + 3$
と表せます。

例：$37 \div 7 = 5 \dots 2$

$\begin{array}{r} 5 \\ 7 ) \overline{37} \\ \underline{35} \\ \phantom{0}2 \\ \end{array}$

分数・小数で商を求める除法

定義

• 割り切れない場合、分数や小数で商を表す方法です。
• 例えば、商を小数で表す場合、$7 \div 2 = 3.5$ です。
  また、商を分数で表す場合は、$5 \div 3 =\displaystyle \frac{5}{3}$​ となります。
• 高校までの数学の問題では商は分数で表す場合が多いです。

例題

1. $8 \div 3 = 2.666\dots \approx 2.67$（小数表記）
2. $5 \div 4 = 1.25$

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四則演算の順序

定義

• 足し算、引き算、掛け算、割り算が混在する計算式では、次の順序に従って計算します。
  1. 掛け算・割り算を先に行う
  2. 足し算・引き算を後に行う

計算例

• $3 + 5 × 2$ の場合、掛け算を先に行います。
  $3 + (5 × 2) = 3 + 10 = 13$
• $12 ÷ 4 + 7$ の場合、割り算を先に行います。
  $(12 ÷ 4) + 7 = 3 + 7 = 10$

例題

1. $6 + 4 \times 3 = 18$
2. $8 \div 2 + 5 = 9$
3. $14 – 8 \div 4 = 12$

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参考文献

数学を復習する際に役に立った本を紹介します．

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芳沢光雄著　『高校数学の教科書』