形式論理学についての解説の記事です．
初めに論理学の対象となる「命題」について解説します．
命題
命題とは，真偽が確定する主張を含む文です．
例えば，「田中さんは数学が好きである」，という文です．
この場合，実際に田中さんが数学が好きならばこの命題は真であり，田中さんが数学が嫌いならばこの命題は偽となります．
以下のような，疑問文・命令文・感嘆文は命題とは言えません．
「今日は満月だろうか？」，「職場をきれいにしろ」，「この花はなんて美しいのだろう！」
「今日は満月である」は命題と言えますが，「職場はきれいである」や「この花は美しい」は，「きれい」や「美しい」の基準が主観的なので，命題とは言えません．
つまり，真偽が定まるために，その基準が客観的でなければなりません．
命題として想起しやすいのは，数学に関する命題です．
「\(2\)は偶数である」，「\(3\)は素数である」，「\(6\)は完全数である」は全て真です．
「\(\sqrt{2}\)は有理数である」，「\(2+3i\)は純虚数である」は全て偽です．
命題を文字で表す場合，一般的には\(A, B\)など大文字のアルファベットで表します．
述語
「\(x\)は実数である」などのように，主語についての条件のみを記した文を述語といいます．
この文の\(x\)のように，そこにいろいろなものが代入されうる部分を変項といいます．
変項が数を表す場合は変数といいます．
他方で，「\(x\)は\(a\)以上の実数である」の中の\(a\)のように，いろいろなものが代入されうるのではなく，一定のものであると想定されているものを定項といいます．
定項が数を表す場合は定数といいます．
述語を文字で表す場合，変項\(x\)と合わせて\(A(x)\)とかきます．
\(A(x)\)は命題関数とも呼ばれます．
問題
問題1
次の命題の真偽を答えよ．
(1) \(141\)は素数である．
(2) \(259\)は\(7\)の倍数である．
問題2
次の命題関数が真となるような変数の範囲を答えよ．
(1) \(x\)は実数で，\(5x-7>3\)
(2) \(y\)は実数で，\(y^2-3y<-2\)
解答例
問題1
(1) \(141=3 \times 47\)であるので，\(141\)は素数ではない．したがって与えられた命題は偽である．
(2) \(259=7 \times 37\)であるので，\(259\)は\(7\)の倍数である．したがって与えられた命題は真である．
問題2
(1) \(5x-7>3\)，\(5x>10\)，\(x>2\)
(2) \(y^2-3y<-2\)，\(y^2-3y+2<0\)，\((y-2)(y-1)<0\)，\(1<y<2\)
参考文献
参考文献を紹介します．
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野矢茂樹著，『論理学』
長岡亮介著，『論理学で学ぶ数学』
