シェファーの棒記号【形式論理学8】

論理学を学ぶ記事です．

本記事では，シェファーの棒記号について説明します．

シェファーの棒記号

下記の論理式\(X\)を考えます．

この論理式を\(X \Leftrightarrow A \mid B\)とかきます．

\(\mid\)をシェファーの棒記号といいます．

他方で，この真理関数は\(\lnot(A \land B)\)ともかけます．

すなわち，\(A \mid B \Leftrightarrow \lnot(A \land B)\)です．

上式を否定すると，以下のようになります．

\(A \land B \Leftrightarrow \lnot (A \mid B)\)

ところで，\(A \mid A \Leftrightarrow \lnot A\)ですから，

\(A \land B \Leftrightarrow (A \mid B) \mid (A \mid B)\)

となります．

\(A \lor B \Leftrightarrow \lnot (\lnot A \land \lnot B)\)

\(\Leftrightarrow \lnot A \mid \lnot B\)

\(\Leftrightarrow (A \mid A) \mid (B \mid B)\)

\(A \Rightarrow B \Leftrightarrow \lnot A \lor B\)

\(\Leftrightarrow \lnot ( A \land \lnot B)\)

\(\Leftrightarrow A \mid \lnot B\)

\(\Leftrightarrow A \mid (B \mid B)\)

以上のように，シェファーの棒記号で全ての結合子を表すことができます．

とはいうものの，これまでの\(\lnot, \land, \lor, \Rightarrow, \Leftrightarrow\)を用いた表記に比べてかなり煩雑にはなります．

シェファーの棒記号に関する法則を考察します．

まず，定義から\(A \mid B \Leftrightarrow \lnot (A \land B)\)です．

次に，上式で\(B\)を\(A\)に置き換えて，\(A \mid A \Leftrightarrow \lnot A\)です．

\(A \mid B \Leftrightarrow \lnot (A \land B)\)

\(\Leftrightarrow \lnot A \lor \lnot B\)

\(\Leftrightarrow A \Rightarrow \lnot B\)

となります．

\(A \mid B\)は可換で，\(A \mid B \Leftrightarrow A \Rightarrow \lnot B\)， \(B \mid A \Leftrightarrow B \Rightarrow \lnot A\)なので，対偶の関係となります．

形式論理学に関する参考文献を以下に挙げます．

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長岡亮介著，『論理学で学ぶ数学』

赤攝也著，『現代数学概論』

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