線型代数学の問題の解説をします．
あるベクトルをいくつかのベクトルの線型結合で表現する問題です．
問題
ベクトル\(\boldsymbol{v} = (1, -2, 5)\)を，\(\boldsymbol{u}_1 = (1, 1, 1), \boldsymbol{u}_2 = (1, 2, 3), \boldsymbol{u}_3 = (2, -1, 1)\)の線型結合として表せ．
解答例
ベクトルの線型結合とは，複数のベクトルの定数倍の和のことです．
例えば，\(3\boldsymbol{a}-5\boldsymbol{b}+2\boldsymbol{c}\)のようなものです．
そこで，\(p,q,r\in\mathbb{R}\)として，\(\boldsymbol{v}=p\boldsymbol{u}_1+q\boldsymbol{u}_2+r\boldsymbol{u}_3\)とします．
\(\boldsymbol{v}=(1,-2,5),\boldsymbol{u}_1=(1,1,1),\boldsymbol{u}_2=(1,2,3),\boldsymbol{u}_3=(2,-1,1)\)を代入して，
\((1,-2,5)=p(1,1,1)+q(1,2,3)+r(2,-1,1)\)
\((1,-2,5)=(p+q+2r,p+2q-r,p+3q+r)\)
\(p+q+2r=1\) (1)
\(p+2q-r=-2\) (2)
\(p+3q+r=5\) (3)
(1)－(2) \(-q+3r=3, q=3r-3\) (4)
(3)－(2) \(q+2r=7, q=7-2r\) (5)
(4)，(5)より，\(3r-3=7-2r, 5r=10, r=2\)
(4)より，\(q=3\times2-3=3\)
(1)より，\(p=-q-2r+1=-3-2\times2+1=-6\)
以上より，\(\boldsymbol{v}=-6\boldsymbol{u}_1+3\boldsymbol{u}_2+2\boldsymbol{u}_3\)
参考文献
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