数直線と実数の大小関係について解説します．
数直線
実数を表すモデルとして，数直線をあげることができます．
無限に伸びる直線を想定して，その直線上に一つの点をとります．
この点を原点\(O\)とします．
原点\(O\)の右側にもう一つ点をとり，これを\(E\)とします．
線分\(OE\)の長さを\(1\)と定義します．
任意の直線上の点の，原点\(O\)からの長さを実数とみなすことができます．
ただし、正負の関係があり，原点\(O\)の右側の点(\(E\)側の点)が正の数，左側の点が負の数となります(図2‐1)．
整数は数直線上では原点\(O\)を含んで，長さ\(1\)で等間隔に並ぶ点列として表されます(図2‐2)．
有理数(整数ではない)は，二つの整数の点の間の点として表されます．
例えば，\(\displaystyle \frac{1}{2}\)は線分\(OE\)を二等分する点\(A\)となります(図2‐3)．
線分\(OE\)の間には，無限に有理数が存在することになります．
線分\(OA\)の間に\(OA\)を二等分する点\(B\)があり，さらに線分\(OB\)の間にこれを二等分する点\(C\)があり，…といった具合です．
これを有理数は数直線上に稠密に存在する，といいます．
実数の大小関係
二つの実数\(a, b\)では，次の三つの関係の内のどれかが必ず成立します．
\(a < b, \: a = b, \: a > b\)
つまり，実数には大小関係があり，大小を比較することができます．
\(a < b\)または\(a = b\)であることを，\(a \leq b\)とかきます．
相等・大小関係にはいくつかの規則がありますので，ここで簡単に触れます．
相等関係についての規則
任意の実数\(x\)に対して，\(x = x\)が成り立つ．(反射律)
任意の実数\(x, y, z\)に対して，\(x = y, y = z\)ならば\(x = z\)が成り立つ．(推移律)
任意の実数\(x, y\)に対して，\(x = y\)ならば\(y = x\)が成り立つ．(対称律)
任意の実数\(x, y\)に対して，\(x = y, y = x\)ならば\(x = y\)が成り立つ．(反対称律)
大小関係についての規則
任意の実数\(x, y, z\)に対して，\(x < y, y < z\)ならば\(x < z\)が成り立つ．(推移律)
任意の実数\(x, y, z\)に対して，\(x \leq y, y \leq z\)ならば\(x \leq z\)が成り立つ．(推移律)
任意の実数\(x, y\)に対して，\(x \leq y, y \leq x\)ならば\(x = y\)が成り立つ．(反対称律)
これらの中で推移律と反対称律は，証明問題や極限を求める問題で有用であることがあります．
不等式と加法・乗法
不等式と加法・乗法の関係を簡単に見ていきます．
不等式\(a < b\)の両辺に\(c\)を加えてもそのまま成立します．
\(a, b, c \in \mathbb{R}, a < b \Leftrightarrow a+c < b+c\)
この関係から，\(a > 0 \Leftrightarrow a-a > -a \Leftrightarrow 0 > -a\)となります．
\(a, b\)が正ならば\(ab\)も正です．
\(a, b \in \mathbb{R}, a\geq0, b\geq0 \Rightarrow ab\geq0\)
この関係から，\(a \in \mathbb{R}, a^2 = (-a)^2 \geq 0\)となります．
参考文献
解析学に関する参考文献を以下に挙げます．
アフィリエイト広告です．
松坂和夫著，『解析入門』
 |
新品価格 |
 | 価格:3,630円 |
杉浦光夫著，『解析入門I』
 |
新品価格 |
 | 価格:2,750円 |
