数学の学び直しのための記事です．ここでは，数学の基礎である集合論の解説を行います．
集合について
数学では，考察するさまざまな対象(もの)を集合として捉えます．
例えば，数\(1\)，\(2\)からなる集合を\(\{1, 2\}\)と書きます．
集合を構成するもの，上記の例なら数，を集合の元(あるいは要素)といいます．
集合を表す方法には，上記のように集合の元を書き下す方法と，集合の元が満たす条件を記す方法があります．
前者を外延的記法，後者を内包的記法とよびます．
例えば，前者の例は\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\)で，後者の例は\(\{n\mid nは整数,1\leq n \leq 5\}\)です．
数学で重要な集合として，\(\mathbb{N}\):自然数全体，\(\mathbb{Z}\)：整数全体，\(\mathbb{Q}\)：有理数全体，\(\mathbb{R}\)：実数全体，\(\mathbb{C}\)：複素数全体があります．
この記事では，\(\mathbb{N}=\{0, 1, 2, …\}\)とします．
ある元\(x\)が集合\(A\)に属することを\(x \in A\)と書きます．
他方，ある元\(y\)が集合\(A\)に属しないことを\(y \notin A \)と書きます．
集合の相等
二つの集合\(A\)，\(B\)が元を全て共有するとき，二つの集合\(A\)，\(B\)は等しい，といい\(A=B\)と書きます．
この時，\(A\)に属する元は全て\(B\)に属し，かつ，\(B\)に属する元は全て\(A\)に属します．
これを論理記号で書くと，
\((\forall x \in A, x \in B) \land (\forall y \in B, y \in A) \)
となります．
\(\land\)は「かつ」を意味する論理記号で，二つの命題の両方を意味します．
そこで，集合\(A\)，\(B\)について\(A=B\)を証明せよ，と問われたならば，\((\forall x \in A, x \in B)\)と\((\forall y \in B, y \in A) \)の両方を示す必要があります．
例題
問題1
集合\(A=\{1, 2, 3\}\)と\(B=\{2, 3, 1, 2\}\)は等しいか？
問題2
以下の集合を外延的記法で表せ．
(1) \(A=\{n \mid n \in \mathbb{N}, n \leq 5\}\)
(2) \(B=\{m \mid m \in \mathbb{Z}, \mid m \mid \lt 6\}\)
解答例
問題1
\(A\)の全ての元は\(B\)に属し，\(B\)の全ての元は\(A\)に属する．したがって，\(A=B\)である．
問題2
(1) \(A=\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\)
(2) \(B=\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}\)
参考文献
集合論に関する参考文献を以下に挙げます。
松坂和夫著、『集合・位相入門』
赤攝也著、『集合論入門』
