論理学を学ぶ記事です．
本記事では，量化子を伴う命題の否定について説明します．
量化子と否定
量化子を伴う命題に否定が作用された場合を考えます．
\(\neg (\forall x A(x) )\)
\(\neg (\exists x A(x) )\)
全ての\(x\)に対して\(A(x)\)が成り立つ，の否定は，どれか一つの\(x\)に対して\(A(x)\)が成り立たなければよいので，ある\(x\)に対して\(\neg A(x)\)が成り立つ，となります．
\(\neg (\forall x A(x)) \Leftrightarrow \exists x \neg A(x)\)
ある\(x\)に対して\(A(x)\)が成り立つ，の否定は，\(A(x)\)を満たす\(x\)が存在しないということですので，全ての\(x\)に対して\(\neg A(x)\)が成り立つ，となります．
\(\neg (\exists x A(x)) \Leftrightarrow \forall x \neg A(x)\)
量化子を伴う命題の否定は，日常的には「全体否定」と「部分否定」といわれる概念と関連します．
「全体否定」とは，ある命題を満たす場合がただの一つもないことを意味しますので，論理記号で書けば，\(\forall x \neg A(x)\)です．
「部分否定」とは，全ての場合である命題が満たされるというわけではないことを意味しますので，ある場合で満たされない，と考えて，論理記号で書けば，\(\exists x \neg A(x)\)です．
量化子を命題結合とみなした場合
量化子を連言や選言などとみなせる場合があることを前に触れましたが，これを利用して考えてみます．
\(n \in \{1, 2, 3\}, A(n)\)
\(n\)は\(1\)か\(2\)か\(3\)で，\(A(n)\)は\(n\)に関する命題です．
\(\forall n A(n)\)は，全ての\(n\)に対して命題\(A(n)\)が成り立つことを意味します．
この命題の全体を否定すると下記のようになります．
\(\neg (\forall n A(n))\)
全ての\(n\)に対して\(A(n)\)が成り立つ，という命題はそれぞれの自然数\(1, 2, 3\)に対する命題，\(A(1), A(2), A(3)\)の連言とみなせます．
\(\forall n A(n) \Leftrightarrow A(1) \land A(2) \land A(3)\)
それゆえ，
\(\neg (\forall nA(n)) \Leftrightarrow \neg (A(1) \land A(2) \land A(3))\)
右辺はドモルガンの法則より，
\(\neg (A(1) \land A(2) \land A(3)) \Leftrightarrow \neg A(1) \lor \neg A(2) \lor \neg A(3)\)
となり，右辺は特称記号で表せます．
\(\neg A(1) \lor \neg A(2) \lor \neg A(3) \Leftrightarrow \exists n \neg A(n)\)
以上から，\(\neg (\forall n A(n)) \Leftrightarrow \exists n \neg A(n)\)であることが分かります．
参考文献
形式論理学に関する参考文献を以下に挙げます．
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野矢茂樹著，『論理学』
長岡亮介著，『論理学で学ぶ数学』
赤攝也著，『現代数学概論』
