高校数学の復習の記事です．
まずは自然数の解説から始めます．
自然数
自然数は，この記事では\(\{1,2,3,4\dots\}\)とします．
自然数で表されるものの例としては，物の個数や操作の回数などです．
商品の値段も実用上自然数であることが多いですね．
数学ではイメージが大切ですので，いろいろな数学の対象が実生活でどれに相当するかを考えるのは役に立つことだと思います．
自然数は\(1\)に\(1\)を足していって得られる数でもあります．
自然数の全体からなる集合を\(\mathbb{N}\)とかきます．
自然数\(1\)は自然数の全体からなる集合\(\mathbb{N}\)に属しますが，このことを記号で\(1 \in \mathbb{N}\)とかきます．
自然数の表現
数は十進法で表されるのが普通です．
\(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, \dots\)
それ以外に，コンピューターなどで利用されている二進法や十六進法もあります．
\(1_{(2)}, 10_{(2)}, 11_{(2)}, 100_{(2)}, 101_{(2)}, 110_{(2)}, 111_{(2)}, 1000_{(2)}, 1001_{(2)}, 1010_{(2)}, 1011_{(2)}, \dots\)
表記が二進法であることを，右下の添え字で示しています．
十六進法では，\(10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F\)と表します．
\(1_{(16)}, 2_{(16)}, 3_{(16)}, 4_{(16)}, 5_{(16)}, 6_{(16)}, 7_{(16)}, 8_{(16)}, 9_{(16)}, A_{(16)}, B_{(16)}, C_{(16)}, D_{(16)}, E_{(16)}, F_{(16)}, 10_{(16)}, \dots\)
また，単位においては，\(1\)分\(=60\)秒などのように，特殊な繰り上がりがあります．
大小関係
ある数に\(1\)を加えた数は，元の数より大きいです．
\(1 \lt 1+1=2\)
このように，自然数には大小関係があります．
全ての数に大小関係が考えられるわけではなく，例えば複素数では大小関係は考えられません
\(a=b\)であるか，\(a\lt b\)である場合，\(a\leq b\)とかきます．
任意の二つの自然数\(a, b\)に対して，\(a \leq b\)であるか，\(b \leq a\)であるかのどちらかです．
問題
問題1
以下の二進数表記の数を十進数で表せ．
(1) \(1101_{(2)}\)
(2) \(10110_{(2)}\)
(3) \(100101_{(2)}\)
(4) \(11011001_{(2)}\)
解答例
問題1
(1) \(1101_{(2)}=1 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 =8+4+1=13_{(10)}\)
(2) \(10110_{(2)}=1 \times 16 + 0 \times 8 + 1 \times 4 + 1 \times 2 +0 \times 1 =16+4+2=22_{(10)}\)
(3) \(100101_{(2)}=1 \times 32 + 0 \times 16 + 0 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 = 32+4+1=37_{(10)}\)
(4) \(11011001_{(2)}=1 \times 128 + 1 \times 64 +1 \times 16 + 1 \times 8 + 1 \times 1=128+64+16+8+1=217_{(10)}\)
参考文献
数学を復習する際に役に立った本を紹介します．
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芳沢光雄著 『高校数学の教科書』
