自然数【数学基礎】

数学の学び直しの記事です．

自然数の定義と加法・減法・乗法について解説します．

自然数

数を考えるとき，最も身近なのは数えることだと思います．

ある物の数を1個，2個，…と数えることができます．

ここに現れる数\(\{1, 2, \dots\}\)は自然数とよばれています．

自然数全体の集合を\(\mathbb{N}\)とかきます．

自然数\(1,2,\dots\)は自然数全体の集合の中の一つの要素，あるいは元といいます．

自然数\(1\)が\(\mathbb{N}\)に属することを，記号で\(1\in\mathbb{N}\)とかきます．

自然数は，\(1\)に\(1\)を加えていくことでたくさん作ることができます．

自然数の全体の集合\(\mathbb{N}\)について，(i)\(1\in\mathbb{N}\), (ii)\(n\in\mathbb{N} \Rightarrow n+1\in\mathbb{N}\)が成立します．

上記の\(\Rightarrow\)は「ならば」という意味の記号です．

加法

自然数全体の集合において加法が定義されます．

\(m,n\in \mathbb{N}, m+n \in \mathbb{N}\)

二つの自然数の和は必ず自然数となり，自然数は「加法について閉じている」といいます．

自然数に対して，相等関係と大小関係があります．

\(1=1, 1+1=1+1, \dots\)

\(1<1+1<1+1+1<\dots\)

\(m<n\)であるか\(m=n\)であることを\(m\leq n\)とかきます．

自然数全体の集合において，\(1\)は最小の元となります．

減法

加法の逆の演算を考えることができます．

\(m,(m+n)\in \mathbb{N}, n=(m+n)-m\in \mathbb{N}\)

つまり，大きい自然数から小さい自然数を引くときに限り，自然数の差は自然数となります．

\(j, k \in \mathbb{N}, j>k, j-k \in \mathbb{N}\)とかけます．

乗法

同じ自然数のいくつかの和は乗法で表せます．

\(1+1+1=1\times 3\)

\(4+4+4+4+4=4\times 5\)

\(m, n\in \mathbb{N}, m \times n \in \mathbb{N}\)

\(m \times n=mn\)と乗算の記号を省略することもあります．

九九の表

加法や乗法の計算を迅速にできるように，九九の表を利用します．

加法の九九の表は下記の通りです．

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

乗法の九九の表は下記の通りです．

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

インドでは\(19 \times 19\)まで覚えるという話を聞いたことがあります．

乗法の\(19 \times 19\)の表は下記の通りです．

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361

自然数の定義の流儀

上記では自然数を\(\{1,2,3,\dots\}\)としましたが，\(\{0,1,2,\dots\}\)とする流儀もあります．

本ブログ【数学学び直し】では自然数を\(\{1,2,3,\dots\}\)とします．

参考文献

数学に関する参考文献を以下に挙げます．

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芳沢光雄著，『新体系・中学数学の教科書』

芳沢光雄著，『新体系・高校数学の教科書』

長岡亮介著，『総合的研究　数学I＋A』