論理学を学ぶ記事です.
本記事では,論理演算について説明します.
論理和
\(A \lor B\)の真理表を以下に記します.
\(A\) | \(B\) | \(A \lor B\) |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 |
これは,1と1を演算して1,1と0を演算して1,0と0を演算して0,という計算を行っているともいえます.
このように論理式を演算にしたものを論理演算といいます.
選言を演算にしたものを論理和といい,\(+\)で表します.
\(1+1=1,1+0=1,0+0=0\)となります.
これを電子工学では真理値表として以下のように書きます.
\(A\) | \(B\) | \(A+B\) |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
論理学の真理表と逆順に書いていきますので,注意が必要です.
論理積
\(A \land B\)の真理表を以下に記します.
\(A\) | \(B\) | \(A \land B\) |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 |
これを論理演算としたとき,論理積といい,\(\cdot\)と書きます.
\(A\) | \(B\) | \(A \cdot B\) |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
反転
\(\lnot A\)の真理表を以下に記します.
\(A\) | \(\lnot A\) |
1 | 0 |
0 | 1 |
これを論理演算としたとき,反転といい,\(\overline{A}\)と書きます.
\(A\) | \(\overline{A}\) |
0 | 1 |
1 | 0 |
排他的論理和
排他的選言とは,命題\(A\)か\(B\)のどちらかということです.
これを\(A \;\unicode{x22BB}\; B\)と書きます.
\(A\) | \(B\) | \(A \;\unicode{x22BB}\; B\) |
1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 |
排他的選言を論理演算にすると,排他的論理和になります.
エクスクルーシブ・OR,XORなどともいいます.
記号では\(\oplus\)とかきます.
\(A\) | \(B\) | \(A \oplus B\) |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
否定論理積
否定論理積とは,命題\(A \land B\)の否定ということです.
これを\(\lnot (A \land B)\)と書きます.
\(A\) | \(B\) | \(\lnot (A \land B)\) |
1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 |
これはシェファーの棒記号でも表せます.
\(\lnot (A \land B) \Leftrightarrow A \mid B\)
否定論理積は論理演算ではNANDといいます.
記号では\(\overline{A \cdot B}\)とかきます.
\(A\) | \(B\) | \(\overline{A \cdot B}\) |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
否定論理和
否定論理和とは,命題\(A \lor B\)の否定ということです.
これを\(\lnot (A \lor B)\)と書きます.
\(A\) | \(B\) | \(\lnot (A \lor B)\) |
1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 |
否定論理和は論理演算ではNORといいます.
記号では\(\overline{A + B}\)とかきます.
\(A\) | \(B\) | \(\overline{A + B}\) |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 |
参考文献
形式論理学に関する参考文献を以下に挙げます.
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野矢茂樹著,『論理学』
長岡亮介著,『論理学で学ぶ数学』
赤攝也著,『現代数学概論』