自然数・整数・有理数・実数と四則演算について解説します．
自然数
自然数は，この記事では\(0\)を含めます．
\(\mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, …\}\)
自然数は，\(0\)に\(1\)を加えていくことで自然に生成されます．
自然数では加法(足し算)と乗法(掛け算)が可能で，その結果は自然数です．
\(m, n \in \mathbb{N}, m + n \in \mathbb{N}\)
\(m, n \in \mathbb{N}, mn \in \mathbb{N}\)
これを，自然数は加法と乗法で閉じている，といいます．
減法や除法では，差や比が自然数の範囲外になるケースがあり，閉じていません．
整数
整数\(\mathbb{Z}\)を集合として表すと次のようになります．
\(\mathbb{Z}=\{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, …\}\)
整数は加法，乗法に加えて，減法でも閉じています．
ただし，除法については閉じていません．
有理数
整数の比で表される数を有理数といいます．
\(\mathbb{Q} = \{r \mid r = \displaystyle\frac{m}{n}, (m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0)\}\)
除法では\(0\)で除することは定義されないので，注意が必要です．
\(n=1\)のとき，\(\displaystyle\frac{m}{n}=m\)となり，整数になりますので，整数は有理数に含まれます．
有理数は，加法，減法，乗法，除法で閉じています．
\(r, s \in \mathbb{Q}, r + s \in \mathbb{Q}, r-s \in \mathbb{Q},\)
\(rs \in \mathbb{Q}, \displaystyle\frac{r}{s} \in \mathbb{Q}, (s \neq 0)\)
実数
実数は有理数と無理数からなります．
無理数は，整数の比で表せない実数で，たとえば，\(\sqrt{2}\), \(\pi\)(円周率), \(e\)(自然対数の底)があります．
実数は，加法，減法，乗法，除法で閉じています．
\(x, y \in \mathbb{R}, x + y \in \mathbb{R}, x-y \in \mathbb{R},\)
\(xy \in \mathbb{R}, \displaystyle\frac{x}{y} \in \mathbb{R}, (y \neq 0)\)
問題
問題1
(1) 有理数が減法で閉じていることを利用して，有理数と無理数の和が無理数であることを示せ．
(2) 有理数が除法で閉じていることを利用して，\(0\)でない有理数と無理数の積が無理数であることを示せ．
解答例
(1) 有理数を\(r\)，無理数を\(x\)とする．\(r+x=s\)とし，\(s\)が有理数であると仮定する．
\(x=s-r\)と変形でき，右辺は有理数であるが，左辺は無理数であるから，矛盾する．
したがって，\(s\)は有理数ではない。有理数と無理数の和は無理数である．
(2) \(0\)でない有理数を\(r\)，無理数を\(x\)とする．\(rx=s\)とし，\(s\)が有理数であると仮定する．
\(x=\displaystyle\frac{s}{r}\)と変形でき，右辺は有理数であるが，左辺は無理数であるから，矛盾する．
したがって，\(s\)は有理数ではない．有理数と無理数の積は無理数である．
問題2
(1) \(\sqrt{2}\)が無理数であることを，有理数と仮定して背理法で示せ．
(2) \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)が無理数であることを示せ．
解答例
(1) \(\sqrt{2}\)が有理数であると仮定する．
\(\sqrt{2}=\displaystyle\frac{m}{n}, m,n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\)とする．
必要であれば約分を行い，\(m\)，\(n\)は互いに素であるとしてよい．
上式の右辺・左辺のそれぞれを平方して，
\(2=\displaystyle\frac{m^2}{n^2}\)
\(m^2=2n^2\)
\(m^2\)は\(2\)の倍数となり，\(m\)も\(2\)の倍数である．
\(m=2k, k \in \mathbb{Z}\)とおける．
\(4k^2=2n^2\)
\(n^2=2k^2\)
\(n^2\)は\(2\)の倍数であり，\(n\)も\(2\)の倍数となる．
\(m\)も\(n\)も\(2\)の倍数となり，互いに素であることに矛盾する．
したがって，\(\sqrt{2}\)は無理数である．
(2) \(\sqrt{2}+\sqrt{3}=a\)とする．
両辺を二乗して，
\((\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}=a^2\)
\(\sqrt{6}\)について解いて，
\(\sqrt{6}=\displaystyle\frac{a^2-5}{2} \tag{*}\)
ここで，\(\sqrt{6}\)が有理数であると仮定する．
\(\sqrt{6}=\displaystyle\frac{m}{n}, m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\)とおける．
\(m\)，\(n\)は互いに素であるとしてよい．
両辺を二乗して，
\(6=\displaystyle\left(\frac{m}{n}\right)^2=\displaystyle\frac{m^2}{n^2}\)
\(6n^2=m^2\)
\(m\)は\(2\)の倍数なので，\(m=2k, k \in \mathbb{Z}\)とおける．
\(6n^2=4k^2\)
\(3n^2=2k^2\)
\(2\)と\(3\)は互いに素だから，\(n^2\)は\(2\)の倍数であり，\(n\)も\(2\)の倍数．
これは\(m\)，\(n\)が互いに素であることに矛盾する．
したがって，\(\sqrt{6}\)は無理数である．
\((*)\)式に戻り，左辺が無理数であるから，右辺も無理数でないといけないが，\(a^2\)が有理数ならば，右辺は有理数となり，矛盾する．
それゆえ，\(a^2\)は無理数で，\(a\)は二乗して無理数となるので，\(a\)自身も無理数である．
参考文献
解析学に関する参考文献を以下に挙げます．
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松坂和夫著，『解析入門』
杉浦光夫著，『解析入門I』
